А можно ли вообще понять мат.анализ?

Разговорились со студентками на тему: “А можно ли вообще понять мат.анализ?”

Одна из моих коллег сказала им, что поняла мат.анализ только перед гос.экзаменами. Когда весь накопленный за пять лет багаж математических знаний, разные, но чем-то похожие дисциплины и междисциплинарные связи, а также диплом по близкой тематике, наконец уложились в голове в единую картину.

Другая из моих коллег сказала им, что мат.анализ поняла уже будучи преподавательницей, когда самой пришлось встать к доске и объяснять.

И, кстати, эти два подхода очень-очень распространены. Очень-очень. Так бывает часто. И не только с мат.анализом.

У меня история сложнее. В школьные годы я была олимпиадницей. Математические кружки, летние математические школы, очень сильная физико-математическая школа, спецкурсы. И да, я просто не помню те времена, когда я не понимала мат.анализ. Дело в том, что в мат.анализе не было ничего специфически необычного. Мат.анализ естественным образом в школьной программе возник в 9 классе, параллельно с фокальными свойствами коник, доказательством неравенства Коши индукцией вверх-вниз, распределением простых чисел в ассимптотике и началами теории вероятностей. Тут же подоспели и замечательные пределы, и начала дифференцирования-интегрирования.

И да, поскольку я была олимпиадницей, то возникновение в школьной программе мат.анализа не было для меня шоком. Идеи бесконечности в разных ее ипостасях витают в олимпиадных кружках класса практически сразу, класса с пятого-шестого (а сейчас и раньше – класса с первого; у нас на Малом матфаке обязательно с первоклашками изучают Ковер Серпинского )))). Индукция класса с седьмого. А от идеи бесконечности до всего остального мат.анализа на самом деле рукой подать.

И да, я, конечно, была олимпиадницей. Но у меня было больше половины класса обычных ребят – не олимпиадников. И для них тоже не было ничего специфически сложного именно в мат.анализе. Ты с одинаковым успехом мог забуксовать на задачах на движение, на инверсии или на пределах. Хотя больше всего непоняток было все-таки с физикой ))) И собственно того, чтобы кто-то боялся прицельно мат.анализа – этого не было, как ни странно.

Да, мы сейчас можем сказать, что в физ.мат.школе учились умненькие, отобранные, мотивированные ребята. Но на матфаке учатся тоже умненькие, отобранные, мотивированные ребята (по-крайней мере, разговариваю я только с такими). И у матфаковцев больше опыта, больше бэкграунд, но при этом лучшие студенты матфака (за исключением выпускников физ.мат.школ) хуже понимают мат.анализ, чем восьмиклассники. Алгебру, например, понимают не хуже. А мат.анализ хуже. Почему же так?

Я не могу утверждать наверняка. И вообще, это очень сложный вопрос. Но у меня закралась мысль, что вся проблема в чистоте и в строгости математического изложения. Когда деткам 10-12 лет начинают объяснять идею бесконечности, ее объясняют буквально на пальцах, не вдаваясь в идеи, и даже более того, часто опытные преподаватели подсказывают новичкам: “а этот вопрос замни для ясности, если его не объяснять, то школьникам понятнее, чем если начать объяснять строго”.

Мне так папа подсказывал, когда я первый раз доказывала 6-клашкам теорему о платоновых телах. Говорит: “скажи так: три квадрата могут встретиться в одной вершине; три пятиугольника могут, три шестиугольника уже раскладываются в плоскость. А три семиугольника и вовсе не влезают! И все”. Вот это вот крайне нестрогое с математической точки зрения, но крайне точное с бытовой “не влезают” – это так и есть. И так гораздо понятнее. чем если начать наводить тень на плетень.

И тут возникает совершенно неразрешимая дилемма. С одной стороны, на матфаке, безусловно, надо доказывать все крайне строго. По всем критериям строгости, применимым в современной науке. Но с другой стороны, как мне кажется, да простят меня коллеги, специализирующиеся на анализе, иногда, что называется, за деревьями лес не видно. Начинается такое строгое изложение, что за всеми эпсилон-дельтами и прочими проколотыми омега-окрестностями теряется суть того, что пытались донести.

В конце-концов, великие, которые начинали мат.анализ – Ньютон, Лейбниц, Тейлор, Гаусс и так далее – они иногда в работах такую чушь с современной точки зрения писали. Суммировали расходящиеся ряды, вычисляли несуществующие пределы, дифференцировали всюду разрывные функции. И тем не менее, они-то, возможно, лучше кого-либо когда-либо понимали мат.анализ.

Если начинать рассказывать теорию чисел с аксиоматики “обычной” арифметики, ее непротиворечивости и единственности – то собственно до теории чисел вообще никогда не доберешься, погрязнув в дебрях теории множеств и логики. И специалисты по теории чисел в этом конкретном моменте никогда не гонятся за строгостью, предпочитая понятность. /* Хотя теорию чисел я, наверное, в пример зря привожу – вообще не сказать, что кристально понятный предмет. */ Тогда пусть среди примеров будет геометрия. Всех, начиная со школы, и даже более того – с детского сада, обучают евклидовой геометрии. А ее вообще в реальном мире нет! Но она зато всем интуитивно более понятная, чем настоящая геометрия реального мира.

Первое понятие, которое из математики изучает маленький ребенок – это единица. Ну, или одно из первых. А если мы попытаемся с математической точки зрения объяснить, что такое единица – мы можем посмотреть на опыт товарищей Бурбаки. У которых на объяснение числа 1 ушло 100 страниц.

Иногда лучше и правильнее будет преподавателю чуть-чуть скруглить острые углы, а не следовать всем изгибам сложных как норвежские фьорды линиям математики. Или нет?

• [deleted] 2019-06-26T09:05:45Z

  • kukina_kat 2019-06-26T09:16:50Z

    Отлично все.

• [deleted] 2019-06-26T09:43:20Z

  • kukina_kat 2019-06-26T11:20:17Z

    Я думаю, тут в любой науке аналогично есть. Может, надо иногда пренебречь научной чистотой для смысла и ясности.

• [deleted] 2019-06-26T10:32:17Z

  • kukina_kat 2019-06-26T11:40:45Z

    Комплексные числа просто офигенные. Они нужны для того, как минимум, чтобы корректно задать векторное произведение векторов на плоскости. И из них получаются конформные отображения, основная теорема алгебры и много чего хорошего, чего инженеру объяснить как раз труднее, чем математику.

    И я со многими мыслями из вашего комментария не согласна категорически.

    Доказательства в мат.анализе – они прекрасные абсолютно. Теорема Вейерштрасса о возрастающей ограниченной функции, и теорема Больцано-Коши о промежуточной точке – они не искусственные ни разу. Они очень естественные и понятные. Теорема Лагранжа о касательной, параллельной секущей. Лемма о двух милиционерах. И так далее, и так далее. Вообще вот ни грамма в них неестественности нет.

    Математику математикам нельзя рассказывать, ориентируясь на применения. Вы получите не математиков, а инженеров как раз. По смыслу, по характеру, по образу мысли – инженеров. Это не плохо, просто это другая профессия. Математика – это искусство. В консерватории не рассказывают, где применяется музыка. Музыка ценна своей красотой. А уже дальше мы можем найти музыке применение. С математикой для математиков – абсолютно так же. Человек только тогда сможет стать математиком, когда поймет, что математика прекрасна сама по себе, как Мона Лиза. Как “Лунная соната”. Как “Война и мир”.

    Когда мы рассказываем математику экономистам, физикам, юристам, медикам, инженерам опять же – там, безусловно, должна быть другая математика. Вот там как раз применения математики будут правильными. Потому что люди не подписывались, что они понимают красоту математики, они понимают красоту медицины – и как необходимый аппарат должны изучить на некотором уровне и дифф.уры тоже, иначе не смогут до конца осознать процессы в организме.

    • [deleted] 2019-06-27T06:41:06Z

      • kukina_kat 2019-06-27T06:50:28Z

        Это не риторический вопрос. Риторический не требует ответа. А на этот есть четкий и ясный ответ: наука и ради науки, и ради практики. Человеческий мозг так устроен, что человек – существо разумное, а следовательно любопытное. Любопытное не по корыстным целям, а по необходимости мозга анализировать, сопоставлять, узнавать новое. Поэтому нужна наука ради науки. Но все же мы люди физические, и применения, безусловно, зачастую даже важнее. Поэтому наука и ради применений тоже. Обязательно ради применений. Потому что наука ради науки это хорошо, но, например, есть и другие науки. И кушать хочется всегда.

        И то, и другое. Обязательно! Ни в коем случае одна из сторон не должна страдать.

        И именно поэтому нельзя инженеров учить как математиков, а математиков как инженеров.

  • [deleted] 2019-06-26T15:14:56Z

    • kukina_kat 2019-06-26T15:30:44Z

      Все так и есть!

• [deleted] 2019-06-26T15:20:18Z

  • kukina_kat 2019-06-26T15:32:14Z

    Вот на мой взгляд, иногда это очень лишнее. Хотя иногда получается довольно смешно, как в суммировании ряда 1+2+3+4+5+6+..., Если не обращать внимание на то, что бывают расходящиеся ряды, то можно получить любую сумму )))

• [deleted] 2019-06-27T02:13:29Z

  • kukina_kat 2019-06-27T06:02:07Z

    Вообще, это довольно логично, что после каждого нового предмета лучше понимаешь как минимум тесно связанные с ним. После функ.анализа, после комп.ана, после вариационки, после топологии -- явно понимание матанализа становится глубже.

• [deleted] 2019-06-27T10:02:31Z

  • kukina_kat 2019-06-27T13:12:48Z

    Кстати, это наверняка не только с математикой применимо. Вот ты совершенно справедливо про языки говоришь! Я в каком-то классе взялась маму учить английскому языку по детскому иллюстрированному учебнику. Так хорошо пошло! Сама поняла много чего )))

    Но, наверное, так и про многое еще что можно сказать. Про программирование точно. Про физику точно – если на школьном уровне, ее можно понять, а если сразу вузовских преподов послушать, то все вообще непонятно. Это как раз то, что я более менее понимаю. Но ведь и другие наверняка так же. Биология там, или социология какая-нибудь.

    А про то, что вы получали радость от математики. Вот мы, математики, например, получаем же радость от чтения. Потому что кто-то когда-то подсунул нам книжки не те, которые “надо”, а те, которые показали нам этот новый мир. Наверное, просто некому подсовывать детям задачки по математике. Такие, которые не из учебника и не “в одну трубу втекает, а в другую вытекает”, а что-то поприкольнее.

• [deleted] 2019-06-28T12:18:09Z

  • kukina_kat 2019-06-28T14:33:48Z

    Ого себе! Какая приятная неожиданность. Папе поклон и привет. Очень приятно, что читает.

    Да, инженерам-энергетикам без математики никак! им математика нужна в самом начале, даже еще до того, как они осознали, что к чему ))) Потому что математика – это язык, на котором разговаривает и физика, и инженерные науки все. И там специфика самой науки другая, но язык вот он, не выучив математику вообще дальше двигаться невозможно. И особенно, конечно, много мат.анализа нужно (он же – “интегральное и дифференциальное исчисление”): объем мат.анализа на некоторых инженерных специальностях даже больше, чем на матфаке ))))