Кому задачек?

(задачки начинаются после первой картинки. Все, что до картинки – предисловие, внесено под кат и можно пропустить).

Представим себе, что вам надо провести соревнование. Не какое-то соревнование высокого уровня, а тренировочное. Ребята едут на турнир математических боев? Было бы неплохо, провести для них матбой дома. Ребята готовятся к заключительному этапу олимпиады? Было бы неплохо провести тренировочную олимпиаду. Ну, что-то такое. Раньше в таких тренировочных целях ребятам просто давали задачи, которые уже где-то встречались (но ребятам еще неизвестны. Членам жюри всегда известно задач чуть больше, чем школьникам )))).

А сейчас есть интернет. Если задача где-то встречалась –- то она чаще всего есть в интернете, причем с решением. Это проблема. Ребятам хочется победить, а за использованием интернета с жесткостью ЕГЭ следить – ну, просто лень. И как-то неохота. Поэтому мы задачи переделываем так, чтобы они не гуглились. (Кстати, лайфхак: Яндекс ищет задачи намного лучше, чем Гугл. То есть, на самом деле надо делать так, чтобы задачи не яндексились. )

Иногда мы просто маскируем исходную формулировку. Я покажу чуть ниже на примере. Но иногда в процессе перелицовки выходит новая задача. (Зачастую, просто оттого, что в задаче поменяли числа, старое решение больше не подходит) И для этой новой задачи не слишком-то помогает, даже если ты знаешь решение исходной наизусть. Да, они похожи. Но они разные.

Недавно в Омске прошел турнир математических боев для школьников 6-8 класса. Я поучаствовала в составлении задач. Хочу показать новые задачи, которые у меня получились перелицовкой старых.

Сами задачки видно. Под спойлерами – комментарии, которые показывают, как задачка сочинялась. И другой спойлер (а то в прошлый раз это был самый популярный коммент) “для какого класса задача?” Кого это не особенно интересует – можно пропускать.

Вот пример задачи чисто перелицованной. Эта задача очень старая, еще когда я была школьницей, она мне встречалась на разных "сборах" раз 10, но в такой формулировке гуглить ее – дольше, чем решать. То есть, к этой задаче я ни в коем случае не ставлю свое авторство. Это очень известная, так сказать «фольклорная» задача.
1. Яндекс-доставке надо доставить по одному адресу несколько пакетов, суммарный вес которых ровно 10 килограмм. Грузоподъемность робота-доставщика 3 килограмма. А вес каждого пакета не более одного. Сколько роботов точно хватит для такой транспортировки?Указать минимальное количество. В целом, задача доступна школьникам любого класса от 5, скажем, и выше. Для пятиклассников сложность 5 из 5, для 11-классников задача тоже будет нелегкой, где-то 3 из 5 (т.е. нормальный школьный отличник не-олимпиадник такое не решит на полный балл, хотя скорее всего догадается до правильного ответа).
Следующая задача –- яркий пример того, как влияют на задачу числа. Она получена заменой числа на другое.
2. Патрик утверждает, что выдумал два числа a и b, что НОД(а,b)+НОК(a,b)+a+b=2023. А Спонч Боб говорит, что он может и не одну такую пару выдумать, а больше. Кто из них прав?

   (Задача подходит для 6-11 класса. Но уровень сложности будет падать. Для 6-клашек это примерно 3 из 5. Для 11-классников 1 из 5). В исходной формулировке было то ли 1994, то ли 1996 вместо 2023, уже не разобрать. Ну, и да, честно говоря, «Спонч Боба» в классике не было.

   Кстати, в текущей формулировке задача существенно проще, ее можно давать хоть в 6 класс. А в формулировке с 1994 или 1996 6-классникам чуть-чуть не хватит на нее знаний. Хотя, если уж честно, эта задача не очень хорошо гуглится и без всякой переделки.

А вот следующие задачи -- уже мои. Они новые, точнее "самостоятельно выдуманные", хотя и получены "по мотивам" старых.
3. У каждого игрока футбольной команды на футболке спереди написано число 2023, а сзади указан личный номер в команде: от 1 до 11 . Ребята хотят доказать, что они не только спортивные, но и умные. Для этого каждый игрок хочет вставить в надпись 2023 математические значки так, чтобы полученное арифметическое выражение давало в итоге его номер в команде. Помогите всей футбольной команде показать себя с лучшей стороны. Добавлять новые цифры нельзя!

   Эта задача, может, много банальнее, чем задача про робота-доставщика, но она моя )) И сочинялась она, собственно, как задача, с которой каждый может справиться.

   Задание: «вставить знаки и скобки» довольно стандартное. Но именно такого (сделать новые числа из 2023) просто никогда не встречалось. Получилась новая задача. В задании специально не перечислено, какие “математические значки” можно использовать. Было очень интересно, как выкрутятся ребята. И это было круто! Они использовали математический значок, который я не ожидала увидеть, и еще один, который я вообще не знала, но общепринятый, все в порядке ))) В 6-7 класс мы давали вариант с гандбольной командой (номера не до 11, а до 7). В 8 и выше классы можно давать и даже в какой-нибудь более жесткой формулировке. Ну, скажем, 33 богатыря. Но в рамках ограниченного времени – негуманно. Сложность, по-моему, 1 из 5.

4. У злой мачехи было несколько падчериц. Она всем выдала по мешку золы с пшеном и велела разобрать. Золушке досталась восьмая часть всей золы и пятая часть всего пшена (хотя золы в ее мешке было все-таки больше). Сколько падчериц у мачехи? Все выданные мешки одинакового объема.

   От 7 класса и выше. Для 7-классников сложность 3 из 5. Для 11-классников, по-моему, 2 из 5. То есть, классическая олимпиадная задача, когда сложность падает не сильно. Задачу можно предложить 5-6 классу, но те не умеют работать с уравнениями, и тогда задача будет чуть сложнее. Ну, 4 из 5, наверное. В классической формулировке: семья пила кофе с молоком, один из них выпил четверть кофе и шестую часть всего молока. (и уточнения что кофе больше , чем молока – нет)

   На примере этой задачи тоже видно пример «перелицовки». Кофе с молоком превратилось в пшено с золой. И формулировка уже не гуглится.

   Но мне захотелось сделать еще шаг и превратить задачу в новую. Если брать любые числа с разницей 2 (половину кофе и четверть молока; 99-ую часть кофе и 101-ую часть молока), то задача остается ровно такой же как с 1/4 и 1/6. Не интересно. С числами 5 и 8 задача становится реально другая, новая; даже если знать решение исходной задачи – тут решение будет все же другим).

5. К началу учебного года восьмиклассникам закупили конфеты. Всем – поровну, причём больше одной конфеты. Эти 2023 конфеты доставили в нужном числе коробочек (по количеству детей), но разложили не поровну! Выдумщик Вася должен разложить конфеты в коробки поровну. Но он придумал, что за один ход будет перекладывать только по 13 или по 5 конфет из одной коробки в другую. Докажите, что такими шагами он сможет добиться желаемого.

   В такой формулировке задачу можно давать 7-классникам и выше. Сложность 4 из 5 для 7 класса. 3 из 5 для 11-го. Для 5-6 класса можно задачу чуть-чуть облегчить, сказав, что школьников 289. Примерно 4 из 5 и в этой формулировке для 5-6 класса. Классика: собрать все конфеты в одной коробке. И тогда даже не важно, что их 2023, лишь бы коробок было не слишком много и в принципе можно было бы делать какие-то шаги. От того, что конфеты надо разложить по коробочкам реально возникают некоторые сложности. У задачи появляется дополнительный шаг. Ну, и да, замена декораций тут тоже есть.

6. Будем говорить, что расстояние между числами равно х, если заменой х цифр одно из них превращается в другое. Например, расстояние от числа 123 до числа 132 равно двум (надо заменить 2 цифры). 6.1. Верно ли, что от любого числа на расстоянии 1 находится простое? 6.2. Верно ли, что существует число Х такое, что от любого числа на расстоянии не больше, чем Х, есть простое?

   Мы давали задачу 8-классникам с первым вопросом. И первый вопрос – это просто негуглящаяся переформулировка достаточно известной (и хорошо гуглящейся) задачи.

   И пока переформулировала – пошла чуть дальше, и придумала второй вопрос. Кстати, это показывает, почему часто (не всегда, но часто) “задачи по мотивам” бывают сложнее своего оригинала.

   Со вторым вопросом задачка интереснее. И 8-классникам, теоретически, по зубам. Но не легкая, скажем 4 из 5. Для 11-классника задача тоже подойдет, сложность примерно 3 из 5.

Для того, чтобы просто сменить декорации решать задачку в целом не нужно. А, например, для того, чтобы заменить в задаче всего одно число –- надо знать решение задачи. Например, в задачке про Патрика и Спонч-Боба вместо 2023 может быть любое нечетное число –- задачка остается абсолютно такая же, решение подходит слово в слово. А вот если взять любое четное число, то задачка каждый раз немножко новая (хотя подход к решению для всех четных более-менее одинаковый). Но для некоторых четных получается негуманно большой перебор вариантов, например. Для некоторых четных просто как-то неинтересно выходит. Но для всех четных чуть-чуть разная, решение писать заново, не отделаешься просто заменой числа.

• [deleted] 2023-09-25T13:08:46Z

  • kukina_kat 2023-09-25T13:11:56Z

    Да, Фрэнк, правильно. Это спорт.

• [deleted] 2023-09-25T17:10:03Z

  • kukina_kat 2023-09-25T17:19:29Z

    Это точно начало решения не для 6 класса. Хотя есть, конечно, шестиклассники, которые так могут.

  • kukina_kat 2023-09-25T18:55:21Z

    Возможно, можно что-то такое написать, но будет уныло, по-моему. С конкретным числом -- это довольно интересное уравнение. А так возни больше с перечислением всех возможностей.

• [deleted] 2023-09-30T14:23:06Z

  • kukina_kat 2023-09-30T15:34:04Z

    >надеюсь, вы за раз давали один вопрос из этих? Надеюсь, вы умеете читать и способны найти ответ на ваш вопрос в тексте поста.

    уравнение составляется так же С числами 5 и 8 задача становится более общей и требует уравнения. С числами 4 и 6 решение – частный случай текущей задачи и составления уравнения вовсе не требует. Как раз от чисел 5 и 8 перейти к числам 4 и 6 – не получишь новую задачу. Наоборот – да.

    Прорешать самим надо Если бы задачи перед олимпиадой не надо было прорешивать, задачи было бы придумывать намного проще. Уж поверьте, все предложенные задачи сначала прорешиваются. Более того, задачи прорешиваются с условиями системы знаний класса, в который предлагаются. Например, уверена, что вам придумать решение для 8 для чисел 1-11 даже несколько проще, чем для 6 для чисел 1-7.

    Грязный чит. Никакой он не грязный. Вы сами себе выдумали что-то, сами свои выдумки опровергли. Сами обиделись, что нечестно. Если бы можно было использовать только знаки четырех арифметических действий – в задаче было бы написано “использовать знаки четырех арифметических действий”. Слова “математические значки” как раз намекают, что использовать только их не хватит.

• [deleted] 2023-10-01T20:07:48Z

  • kukina_kat 2023-10-01T20:18:00Z

    Да, задача с роботами сложная. Она правда сложная. А если пойти с другого края? Про какое число роботов вы можете доказать, что их всегда хватит? Вот про 4 пока не получается, а про сколько можно? Ну, 10 же точно хватит, если пакеты меньше 1 кг -- точно. Но 10 это (очевидно) плохая прикидка.

    А расскажите как 9 с 4 операциями? Я не заморачивалась на 4 операциях, поэтому знаю со степенью и с факториалом. А ребята в олимпиаде сделали с субфакториалом (одна команда) и с !! другая команда. Это было здорово. Мне как раз это очень понравилось. Хотя нет, с !! – это про 11, кажется, а не про 9. Не помню.

    • [deleted] 2023-10-01T20:52:08Z

      • kukina_kat 2023-10-01T21:07:01Z

        “Если самый тяжелый пакет из оставшихся весит больше, чем 0,5 кг, то мы загрузим робота болеее, чем на 2,5 кг. " не совсем. Может, это “более чем на 2,5” сразу перемахнет через 3.

        У нас же не ровно 2 лежит в роботе (если ровно 2 – то можно еще один кинуть точно). А 2 и чуть-чуть. И, возможно, следующий пакет, который весит больше, чем 0,5 – не влезет. Особенно, если “чуть-чуть” не такое и маленькое.

        То есть надо подобрать какое-то х, что, скажем, 3х>2 (но меньше 3, даже можно считать меньше, чем 2,5, как вы доказали), а 4x>3, но при этом х меньше 1 кг. Или 4 пакета весят больше 2, а вот пять уже – больше 3. Ну, что-то такое.

        Если что, это я показала не что в решении надо писать, а как надо решение строить ))) Писать такое не надо – тут явно очень много неправильного. Например, никто вообще не сказал, что пакеты одного веса, и тогда непонятно, что такое 3х и 4х.

  • kukina_kat 2023-10-01T20:33:01Z

    Кстати, на олимпиаде даже если нашли 10 решений из 11 – стоило бы написать. Мы за такое ставили 6 баллов из 7. )))

    А еще мне очень нравится вот такое решение про 9: [√√(202) ]*3 или [√20]+2+3 – мне кажется, прикольное. И в условия задачи укладывается – подрисовка общепринятных мат.значков. (Ну, просто, если про 0! из комментов “вспомнил” – то, мне кажется, круто и про другие возможности напомнить))) Но про это из ребят никто не подумал (в отличие от субфакториала!!!))