Задачки для 5-8

В прошлом году к олимпиадам я придумала какое-то довольно большое количество задач. В итоге примерно половина из них пошла в продакшн – и их можно показать. На показ все равно получилось около 16 задач, я их разобью на две порции. Сегодня – ваше самое любимое, задачки для 5-8 класса. Возле каждой задачи – спойлер, где описываются всякие методические штуки. Для какого класса задача, как именно она предлагалась на олимпиаде и т.п. Если вам интересно самому порешать задачу – можно туда не читать.

Комменты не буду скрывать. Если кому-то интересно порешать самому – не читайте комменты.

Задача про тортилью.

Мы с мужем обычно делим тортилью вполне определенным образом. Но однажды муж был так голоден, что съел в полтора раза больше тортильи, чем обычно. Мне при этом досталось в два раза меньше тортильи, чем обычно. Как мы обычно делим тортилью?

• В приблизительно в этой формулировке задачу предлагали на олимпиаде 7 класса. Только “мы с мужем” заменили на “Катя с Костей” и тортилью на пиццу: решили, что тортилью никто не знает.

  Когда я попросила ИИ нарисовать мне картинку к задаче – он тоже не умеет рисовать тортилью. Пришлось перейти к варианту с пиццей.

• В этой формулировке не нужно (можно, но не нужно) составлять уравнение, задача решается рассуждениями. Задача для 7 класса несложная, но и не супер-легкая, решат не все.
• Если что, можно поиграться с пропорциями. Например: муж съел вдвое больше, тогда мне досталось вдвое меньше. Скажем, в 11 класс эта задача пошла вот в такой формулировке:

  Обычно супруги Ивановы на ужин делят пиццу в определенном отношении. Но однажды муж был голоден, и съел на 20% больше, чем обычно. При этом супруге досталось на 30% меньше, чем обычно. Как обычно Ивановы делят пиццу?

  Ясное дело, эта задача очень легкая для 10 класса. Подразумевается, что решат все, кто пробился на олимпиаду. (Такого не случилось! Я вообще не помню ни одной задачи, которую бы действительно решили все участники олимпиады).

• Конечно же, с уравнением решение универсальное, и работает с любыми числами. Вдвое больше, втрое меньше -- не беда. Решение однотипное. Но если брать удачные пропорции и использовать как задачу на рассуждения для совсем маленьких (от 2 до 6-7 класса) -- то задачи становятся чуточку разные, рассуждать надо немного по-разному.

Спички детям -- игрушка

Спичками выложено число 508 (см.картинку ниже). Можно ли, переложив всего 2 спички увеличить число более, чем в 11 раз?

• Задача в такой формулировке предлагалась в 5 классе как легкая.
• В формулировке для старших можно было бы сделать так: какое максимальное число можно получить, переложив ровно две спички?", но так как вы уже знаете формулировку для младших -- у вас есть мощная подсказка.
• Если честно, я не уверена, что я прямо автор-автор этой задачи. Возможно, идея старая, просто всплыла в голове.

Ограбление по-...

Грабители всегда лгут о преступлениях, в которых замешаны, и говорят чистую правду о преступлениях, в которых не замешаны. Полиция задержала N человек, которых подозревала в ограблении банка (N>1). И спросила каждого, сколько из задержанных участвовало в этом ограблении. Первый ответил: «Один». Второй ответил: «Два», и так далее. N-ый ответил: «N». Кто из задержанных участвовал в ограблении, а кого надо отпустить?

• В этой формулировке задачу предлагали в 7 классе. Она несложная.
• В пятом классе давали эту же задачу, только при N=4. Решение задачи не будет меняться, но маленьким с N рассуждать сложно.

Еще немножко детективной тематики

Воры всегда лгут о преступлениях, в которых замешаны, и говорят чистую правду о преступлениях, в которых не замешаны. Полиция установила, что в ограблениях банка и ювелира могут быть задействованы только Алекс, Боб и Джон, и никто другой! Алекс: Боб не грабил банк! А Джон не грабил ювелира! Боб: Джон участвовал в ограблении банка. А Алекс грабил ювелира! Джон: Ювелира ограбили в точности те же люди, что и банк. Кого арестовать и за какое преступление?

• У этой задачи похожая фабула, но совсем другое условие. В этой формулировке задачу предлагали в 6 классе – хотя можно в любом. Сложность этой конкретной задачи не особенно зависит от количества лет решающего.

  По-моему, вообще богатая фабула и забавная. Я бы еще задачек в ней сочинила, а то что все одни лжецы да рыцари.

• На самом деле, в предыдущей задаче, так как ограбление было одно, было довольно скучно: каждый был либо "лжецом", либо "рыцарем", если вы понимаете, о чем я. Но тут ограблений больше. И становится веселее.

Бабушка рядушком с дедушкой

Бабушка и дедушка по очереди изучали фотографию внуков. В очках они могут разглядеть вдвое больше мелких деталей, чем без. Дедушка был в очках, а бабушка – без, и они разглядели в сумме 250 мелких деталей. Потом бабушка забрала у деда очки и вдвоем на той же фотографии они увидели в сумме 320 мелких деталей. Сколько деталей бабушка и дедушка разглядели бы на фотографии, если бы оба были в очках?

• Понятно, что вы как люди взрослые и испорченные школой срочно кинулись составлять систему уравнений. И, конечно, тогда задача теряет половину прелести.
• Задача предлагалась в 6 классе. Предполагаемое решение не содержит никаких уравнений, только рассуждения.

Прям как в жизни

Несколько членов жюри составляли олимпиаду. И все предложили поровну задач. Потом задачи стали обсуждать. И каждый забобрил одинаковое количество задач. Выяснилось, что каждую задачу забобрили либо дважды, либо только один раз. В итоговый комплект из 5 задач взяли все задачи, которые забобрили один раз. Сколько было членов жюри?

• В формулировке для 6 класса глагол использовали “критиковали”. Но на самом деле, зная внутреннюю кухню подготовки олимпиад, задачи чаще не критикуют, а именно бобрят.
• Если в олимпиаду надо включить не 5, а, например, 10 задач -- решение становится труднее, веселее, и ответ не единственный. Это не плохо, но для 6 класса -- не очень хорошо.

Сапоги-скороходы

У принца семимильные сапоги-скороходы. За 1 минуту они переносят принца на 7 миль. А сняв их, принц может идти со скоростью 1 миля в минуту. До замка принцессы 111 миль. За какое минимальное время принц доберется до принцессы?

А теперь формулировка для 8 класса: У принца семимильные сапоги-скороходы. За 1 минуту они переносят принца на 7 миль. А сняв их, принц может идти со скоростью 1 миля в минуту. Двигаться он может только по дороге – вокруг заколдованный лес! По дороге до принцессы 111 миль. Успеет ли он добраться за принцессы за 17 минут?

• Конечно, в 8 классе тоже можно было спрашивать про минимальное время, но тогда задача становится труднее – а нам нужна была легкая задача.
• Для 9 класса задача тоже несложная, там гораздо легче доказывать минимальность.
• Задачи на "найдите мин" (или "найдите макс") -- всегда задачи из двух частей. Нужно и доказать, что меньше не может быть. И нужно показать, что вот ровно столько-то может быть!

  Задачи на “может ли” – задачи из одной части. Если может – то надо только показать, как он может. Если не может, то доказать, что не может.

• Если вам интересно, как придумывают такие задачи, я вам расскажу. Из жизни.

  Мы жили в Мехико в 13-этажном доме. И лифт в этом доме ходил через 3 этажа. То есть вот лифт на первом, на второй и на третий он не ходит. Он может довезти до четвертого. Потом до седьмого, потом до 10 – ну, вы поняли. Если тебе надо на второй или третий – можешь подняться по лестнице, а можешь доехать до 4 и спуститься. Похоже на нашу задачу? Воооот.

  Немножко непривычная система, да? В моем детстве встречалось такое, что лифт не ходит на второй этаж. Но вот прямо чтобы через 3 – я не видела.

Продолжение послезавтра.

• [deleted] 2024-11-12T17:19:33Z

  • kukina_kat 2024-11-12T18:48:10Z

    Не криминал и не спорт. (((

• [deleted] 2024-11-12T18:21:27Z

  • kukina_kat 2024-11-12T18:47:26Z

    Спасибо.

    А почему нет? Если мы на автобусе едем, мы же можем проехать чуть дальше нужного дома и вернуться пешком.

• [deleted] 2024-11-12T19:22:57Z

  • kukina_kat 2024-11-12T19:50:54Z

    И всех коллег подсадить на эту фигню )) Задачи для 5-8 класса тем и хороши: их прямо приятно решать.

• [deleted] 2024-11-12T22:30:01Z

  • kukina_kat 2024-11-13T00:04:36Z

    Чем 8118 не устраивает? Мне все нравится. Это не максимум, но решение вполне честное. 503^11 еще может не устраивать -- оно действительно "сомнительное". Не совсем число, а еще пример на вычисление. И для 6 класса оно не подразумевалось, конечно.

    Миля в сказке – это неизвестно, что. Мили, как известно, разные бывают. А сапоги-скороходы точно “семимильные”. Как раз вторая задача про “вокруг заколдованный лес” – линейная. А первая – нет, там нет никаких намеков на то, что вообще дорога от принца к принцессе есть (тем более, прямая).

    Вот задачки для 5-8 класса все любят, они классные. Их решать интересно. Я сколько раз замечала!

    • [deleted] 2024-11-14T16:55:45Z

      • kukina_kat 2024-11-14T18:45:08Z

        Спасибо! Естественно, я сама сочиняю задачки, которые мне и самой было бы интересно решать.

        Вообще, часто в олимпиадной задаче это самое сложное. Задачу-то сочинишь, а как ее решить – не разбери пойми. Сидишь, решаешь. Иногда решаешь-решаешь неделю, две. А потом решишь, и такой: “о, да, легкая задачка оказалась! Дадим в 7 класс”.

    • [deleted] 2024-11-14T21:28:24Z

      • kukina_kat 2024-11-14T23:54:37Z

        Это нормально ) Разные чуть-чуть алгоритмы мышления в мозгу. Одному легче одни задачи, другому другие.

• [deleted] 2024-11-17T15:45:20Z

  • kukina_kat 2024-11-17T15:49:07Z

    Как раз, в одном предложении про два ограбления -- это самый интересный элемент. Предложение Джона либо истино (и тогда он ни там, ни там не замешан), либо ложно -- и тогда он и там, и там замешан.

  • kukina_kat 2024-11-17T15:50:21Z

    Над спичками не надо больше думать, все хорошо со спичками.

  • [deleted] 2024-11-19T08:56:51Z

    • kukina_kat 2024-11-19T09:19:00Z

      Тебе спасибо!